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La géométrie classique enseignée à l'école primaire est dite "analytique". L'arithmétique courante permet de la décrire de façon relativement limpide. Même les formes infinies peuvent être décrites en observant qu'une partie de celles-ci, à condition qu'elles soient régulières.

On a cru un certain temps que la nature déborde de ces courbes et que les mathématiques euclidiennes en viendraient à bout. La limite aurait été simplement de l'ordre de la complexité et du niveau d'observation.

La réalité est que les formes qui constituent l'environnement sont non-analytiques, irrégulières mais dans un désordre relativement constant à diverses échelles d'observation.

En 1967, Benoît Mandelbrot a écrit «Quelle est la longueur de la côte de l'Angleterre ?» L'argument peut se résumer ainsi :

Si un voyageur s'approchait des côtes anglaises, il en apercevrait les détails sans cesse plus réduits. S'il utilisait une règle pour mesurer le contour de la côte, plus elle serait petite plus la valeur trouvée serait grande. Cette augmentation est infinie. Ceci est du au fait qu'une petite règle peut mesurer des petites choses comme des cailloux. Une précision parfaite conduirait à l'infinie.

La longueur de la côte augmente en fonction de la longueur L de la règle.
Lⁿ est celle de la côte, n est négatif.

Si on casse en deux la règle, on obtiendrait une augmentation de la longueur totale de 1/2^1/2, soit la racine de deux ou 1.414...

Selon les côtes et les frontières, on aurait une valeur de n autour de -0.2. Si la côte était euclidienne ou analytique, la longueur convergerait vers une valeur finie alors que la règle serait plus courte, et n égal à 0.

Mandelbrot fait le lien entre n et la dimension de la côte par : n=1-D. Pour une courbe parfaite n est égal à 0 et D=1.

Pour les côtes D est de l'ordre de 1.23 ou 1.18. Cette dimension est dite fractionnaire ou fractale. Si on a D=1 ou D=2, on retrouve les cas classiques des objets à une ou deux dimensions. Pour les fractales, ces dimensions sont non-entières (fractale=brisée) sont quelque fois au-delà de 1 ou 2.

La dimension de la côte ouest de la Grande-Bretagne vaut environ 1.25.

Une application simple des principes des fractales se retrouve dans le flocon de neige, ou île, de Koch.

Si l'on part d'un triangle équilatéral. On divise chaque côté en trois parties égales, dont l'élément central se voit accolé un triangle, afin d'obtenir au total l'étoile de David.

Etoile de David On constate que chaque côté du triangle est remplacé par une ligne brisée d'un tiers plus longue, soit quatre tiers. Un côté de l'étoile est trois fois plus petit que celui du triangle.

Si P₀ est le périmètre du triangle et L₀ la longueur d'un côté.
P₁=4/3P₀ et L₁=1/3L₀ pour l'étoile.

On peut continuer à remplacer chaque côté par une ligne brisée.
Ainsi L₂=1/3L₁ et P₂=4/3P₁.

De façon générale : P_n+1=4/3P_n et L_n+1=1/3L_n

Comme n=1-D, n étant la puissance de la longueur : P_n=(L_n)^1-D et P_n+1=(L_n+1)^1-D
En regroupant Les P et les L : (P_n+1/P_n)=(L_n+1/L_n)^1-D
Sachant comment l'un et l'autre augmentent : P_n+1/P_n=4/3 et L_n+1/L_n=1/3
On remplace : (4/3)=(1/3)^1-D

En utilisant les logarithmes : D=log(4)/log(3)=1.261 859...

S'il s'agissait d'un carré auquel on accolerait des petits carrés d'un tiers, cinq côtés au lieu d'un, soit 5/3, la dimension fractale serait log(5)/log(3)=1.464 97... presque 3/2.

Si D s'approchait de 2, ce qui équivaudrait à une courbe remplissant une surface ? Par exemple la courbe de Peano (Giuseppe)

Courbe de Peano On divise un carré en 9 parties égales. La courbe est la diagonale de chaque carré.

On peut subdiviser le quadrillage pour passer de 3*3=9 en 3, à 9*9, puis 9³ (729) et à l'infini. On peut ainsi remplir une surface et approcher une fractale de dimension D=2.

Reprenons pour voir : à chaque division par 3, le périmètre est multiplié par 3. donc : P_n+1/P_n=3 et L_n+1/L_n=1/3
Sachant le rapport entre les périmètres et les longueurs, toujours n=1-D : 3=(1/3)^1-D
Selon les lois des puissances négatives, cela suppose que -1=1-D donc D=2.

Les courbes de dimension 2 se disent de Peano.

Celles inférieures à 1 peuvent ressembler à celle qui consiste à un segment de droite dont on enlèverait le tiers central, et procéder ainsi pour chaque tiers.
Donc 2/3=(1/3)^1-D ou D=log(2)/log(3)=0.630 9...

Pour une fractale de dimension supérieure à 2, on peut partir d'un carré divisé en 3 sur 3. et élever le carré central tel un cube. Le tout consiste en 13 carrés égaux. On peut continuer ainsi pour chaque carré, multipliant la surface par 13/9.

La dimension est log(13)/log(3)=2.334 7...

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